Question

如圖，四棱錐S—ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一點(diǎn).?

（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；?

（2）假設(shè)SA=4，AB=2，求點(diǎn)A到平面SBD的距離；?

（3）當(dāng)的值為多少時(shí)，二面角B-SC-D的大小為120°?

Answer 1

提示：（1）易證SA⊥BD、AC⊥BDBD⊥面SAC，得面EBD⊥面SAC.?

（2）用等體積法，易求出距離為.?

（3）分別以AB、AD、AS所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=1，SA=h.

則B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），S（0，0，h），不妨使EB⊥SC，設(shè)=λ(0＜λ＜1),則=λ(-1,-1,h).?

∴=(-λ,1-λ,λh).?

又·=λ-1+λ+λh²=0λh²=1-2λ,這時(shí)=（1-λ，-λ，λh）.?

而·=-1+λ+λ+λh²=0,?

∴DE⊥CS.?

由EB⊥SC,∴SC⊥面BED.?

∴∠BED是二面角BSCD的大小.∴∠BED=120°,且||=||=.?

這時(shí)， cos120°.?

∴λ(λ-1)+(λ-1)·λ+λ²h²?

=-［λ²+(1-λ)²+λ²h²］.?

∴6λ²-6λ+1+3λ²h²=0.?

又∵λh²=1-2λ(0＜λ＜1),?

∴λ=.?

這時(shí)，h²=1,即h=1.?

故=1時(shí)，二面角B-SC-D的大小為120°.