Question

已知數列{a_n}的通項a_n=

1

3

n3-

5

4

n2+3+m，若數列中的最小項為1，則m的值為

 

．

Answer 1

考點：數列的函數特性

專題：導數的綜合應用

分析：令f（x）=

1

3

x3-

5

4

x2+3+m，（x≥1）．利用導數研究其單調性極值與最值，即可得出．

解答： 解：數列a_n=

1

3

n3-

5

4

n2+3+m，令f（x）=

1

3

x3-

5

4

x2+3+m，（x≥1）．
f′（x）=x2-

5

2

x，
由f′（x）＞0，解得x＞

5

2

，此時函數f（x）單調遞增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜

5

2

，此時函數f（x）單調遞減．
∴對于f（n）來說，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．
f（3）-f（2）=9-

45

4

-(

8

3

-5)＞0，
∴f（2）最小，∴

1

3

×8-5+3+m=1，
解得m=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查了利用導數研究其單調性極值與最值，考查了計算能力，屬于基礎題．