Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D與BC₁所成的角為

π

3

，則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為．（　�。�

• A．

  2

  3

• B．

  1

  2

• C．

  6

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：連接A₁C₁，交B₁D₁于O，通過(guò)證明A₁C₁⊥B₁D₁，B₁B⊥A₁C₁得出A₁C₁⊥面BB₁D₁D，垂足為O，從而∠OBC₁為BC₁與平面BB₁D₁D所成角的平面角．其正弦值sin∠OBC₁=

OC1

BC1

為所求．由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知B₁C與BC₁所成的角等于A₁D與BC₁所成的角，應(yīng)有∠BEB₁=60°，∠BEC=180°-60°=120°，在△BEC中根據(jù)余弦定理求出BE，再得出BC₁后，代入式子計(jì)算即可．

解答：解：由已知，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2
∴四邊形A₁B₁C₁D₁為正方形，連接A₁C₁，交B₁D₁于O
則O為正方形A₁B₁C₁D₁為 的中心，∴A₁C₁⊥B₁D₁于O，
又B₁B⊥面A₁B₁C₁D₁為，得出B₁B⊥A₁C₁為，且B₁D₁于∩B₁B=B₁，
∴A₁C₁⊥面BB₁D₁D，垂足為O，
即BC₁在平面BB₁D₁D上的射影為BO，
∴∠OBC₁為BC₁與平面BB₁D₁D所成角的平面角，
其正弦值sin∠OBC₁=

OC1

BC1

=

2

BC1

①
下面求BC₁：
連接B₁C，與BC₁交于點(diǎn)E，
則易知A₁D∥B₁C，∴B₁C與BC₁所成的角等于A₁D與BC₁所成的角 
由圖可知應(yīng)有∠BEB₁=60°，∴∠BEC=180°-60°=120°，
 在△BEC中，設(shè)BE=x，根據(jù)余弦定理，BC²=BE²+CE²-2BE×CE×cos120°
即4=x²+x²-2x²cos120°=3x²
∴BE=x=

2

3

，∴BC₁=2BE=

4 3

3

 代入①得sin∠OBC₁=

2

4 3 3

=

6

4

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線夾角、線面角的定義，度量．考查轉(zhuǎn)化、空間想象能力、計(jì)算等能力．求直線和平面所成的角，利用線面垂直，確定直線在平面內(nèi)的射影，得出線面角的平面角是關(guān)鍵．