Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且(3－m)S_n＋2ma_n＝m＋3(其中m為常數(shù)，n∈N₊)，且m≠－3．

(1)求證：{a_n}為等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列{a_n}的公比q＝f(m)，數(shù)列{b_n}滿足b₁＝a₁，b_n＝f(b_n－1)(n∈N₊，n≥2)，求證：{}為等差數(shù)列．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題要證數(shù)列為等差、等比數(shù)列，所以需按定義研究an+1與an的關(guān)系，而已知為Sn，需將Sn化為an，它們之間的關(guān)系為 　　an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1，n≥2． 　　證明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn+1＋2man+1＝m＋3， 　　∴(3＋m)an+1＝2man(m≠－3)． 　　∴． 　　∴{an}為等比數(shù)列． 　　(2)由已知q＝f(m)＝，b1＝a1＝1， 　　∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝f(bn－1)＝·． 　　∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1． 　　∴． 　　∴{}是首項(xiàng)為1、公差為的等差數(shù)列．

提示：

證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列需緊扣定義，找到an+1與an之間的關(guān)系，由已知前n項(xiàng)和Sn，求出an＝由已知條件逐步變形得到，從而得證．