Question

10．設(shè)點(diǎn)M，N是拋物線y=ax²（a＞0）上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)G（0，-1）滿足$\overrightarrow{GN}$•$\overrightarrow{GM}$＞0，則a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 過(guò)G作拋物線的切線，只需令切線的夾角小于90°即可．

解答 解：過(guò)G點(diǎn)作拋物線的兩條切線，設(shè)切線方程為y=kx-1，
切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₀，y₀），B（-x₀，y₀），
則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{{x}_{0}}^{2}}\\{{y}_{0}=k{x}_{0}-1}\\{2a{x}_{0}=k}\end{array}\right.$，解得k=±2$\sqrt{a}$．
∵$\overrightarrow{GN}$•$\overrightarrow{GM}$＞0恒成立，∴∠AOB＜90°，即∠AGO＜45°，
∴|k|＞tan45°=1，即2$\sqrt{a}$＞1，
解得a＞$\frac{1}{4}$．
故答案為（$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．