Question

凸函數的性質定理為：如果函數f（x）在區(qū)間D上是凸函數，則對于區(qū)間D內的任意x₁，x₂，…，x_n，有

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

≤f（

x1+x2+…xn

n

），已知函數y=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為

 

Answer 1

分析：已知f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數，利用凸函數的性質可得：

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，變形得 sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

問題得到解決．

解答：解：∵f（x）=sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數，
且A、B、C∈（0，π），
∴

f(A)+f(B)+f(C)

3

≤f（

A+B+C

3

）=f（

π

3

），
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

，
所以sinA+sinB+sinC的最大值為

3 3

2

．

點評：應用凸函數的性質解決具體問題．