已知定圓的圓心為，動圓過點(diǎn)，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，試探究直線：與曲線是否存在交點(diǎn)? 若存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（Ⅰ）；（Ⅱ）直線與曲線總有兩個交點(diǎn)，.

解析試題分析：（Ⅰ）先找出圓心和半徑，設(shè)出動圓的圓心和半徑，因?yàn)閯訄A過點(diǎn)，且和圓相切，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓；（Ⅱ）討論的情況，分和兩種，當(dāng)時，顯然有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，聯(lián)立方程組，消解方程，看解的個數(shù).
試題解析：（Ⅰ）圓的圓心為，半徑.
設(shè)動圓的圓心為半徑為，依題意有.
由，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，從而圓內(nèi)切于圓，故，
即，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.       3分
設(shè)橢圓方程為. 由，，可得，.
故曲線的方程為.        6分
（Ⅱ）當(dāng)時，由可得.此時直線的方程為：，
與曲線有兩個交點(diǎn).       8分
當(dāng)時，直線的方程為：，
聯(lián)立方程組消去得，   ①
由點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，得，可得.
于是方程①可以化簡為. 解得或.
當(dāng)代入方程可得；
當(dāng)代入方程可得.顯然時，.
綜上，直線與曲線總有兩個交點(diǎn)，.        13分
考點(diǎn)：1.求橢圓方程；2.判斷直線與橢圓的交點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓：+=1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點(diǎn)為，且其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個交點(diǎn)，試判斷是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知A、B、C是橢圓W:上的三個點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積；
(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求弦的長度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：



4

1

2
4

2
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC、BD過原點(diǎn)O，若,

(i) 求的最值.
(ii) 求四邊形ABCD的面積；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知兩點(diǎn)及，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且、、 構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，且，． 求四邊形面積的最大值．

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同步練習(xí)冊答案