Question

下列命題：
（1）若函數為奇函數，則a=1；
（2）函數f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）方程lgx=sinx有且只有三個實數根；
（4）對于函數，若0＜x₁＜x₂，則．
以上命題為真命題的是    ．（將所有真命題的序號填在題中的橫線上）

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數奇偶性，求參數的值，常用特殊值驗證，代入x=0或1即得；
（2）先對函數化簡整理得到f（x）=|1+|，再有函數圖象的平移、對稱變換得到f（x）的圖象，即得f（x）的周期；
（3）在同一坐標系中，作出y=lgx與y=sinx的圖象，看交點個數；（數形結合）
（4）（數形結合）作出函數的圖象，即可判定兩值的大小關系．
解答：解：（1）∵函數為奇函數，
∴f（0）=0，即f（0）=，
∴，即a=1；
（2）∵f（x）=|1+sinx+cosx|=|1+|，
又由y=的周期是2π，將其函數圖象上移一個單位后得到y(tǒng)=+1的圖象，
然后再將X軸下方的圖象沿X軸旋轉180°，得到f（x）=1+|的圖象，
∴函數f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）作出y=lgx與y=sinx的圖象，由于y=lgx在（0，∞）上為增函數且l，g10=1，lg1=0，
故在區(qū)間（0，π）內y=lgx與y=sinx有一個交點，在（π，2π）內無交點，在（2π，3π）內有三個交點，
∴方程lgx=sinx有且只有三個實數根；
  
（4）∵函數是單調遞增的凸函數，∴在0＜x₁＜x₂，則，
∴若0＜x₁＜x₂，則是錯誤的；
故答案為（1）（2）（3）．
點評：本題考查的知識點是命題的真假判定，同時考查了函數的一些性質，注意數形結合的方法．