Question

在平面內(nèi)，設(shè)到定點(diǎn)F（0，2）和x軸距離之和為4的點(diǎn)P軌跡為曲線(xiàn)C，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，交曲線(xiàn)C于M，N兩點(diǎn)．
（1）說(shuō)明曲線(xiàn)C的形狀，并畫(huà)出圖形；
（2）求線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,兩點(diǎn)間的距離公式

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），利用到定點(diǎn)F（0，2）和x軸距離之和為4，建立方程，分類(lèi)討論，化簡(jiǎn)可得方程，從而說(shuō)明曲線(xiàn)C的形狀，并畫(huà)出圖形；
（2）分類(lèi)討論，利用當(dāng)l過(guò)BD時(shí)，|MN|最小，最小值為4，當(dāng)l過(guò)C（或A）時(shí)，|MN|最大，即可求線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由已知得：

x2+(y-2)2

+|y|=4   （1分）
當(dāng)y≥0時(shí)，化簡(jiǎn)得：x²=-4（y-3）
當(dāng)y＜0時(shí)，化簡(jiǎn)得：x²=12（y+1）（3分）
∴如圖：曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在F（0，2），準(zhǔn)線(xiàn)分別為y=-4和y=4，頂點(diǎn)分別是（0，-1）和（0，3）的兩條拋物線(xiàn)一部分組成的封閉圖形ABCD…（6分）
（2）當(dāng)M、N在兩支拋物線(xiàn)上時(shí)，過(guò)M、N分別作相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別是M₁、N₁，由拋物線(xiàn)定義，MM₁=MF；NN₁=NF，
設(shè)M、N的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，|MN|=8-（|y₁|+|y₂|）
當(dāng)l過(guò)BD時(shí)，|MN|最小，最小值為4，
當(dāng)l過(guò)C（或A）時(shí)，|MN|最大，
此時(shí)直線(xiàn)l的方程為-x+

3

y=2

3

和拋物線(xiàn)x²=-4（y-3）
另一個(gè)交點(diǎn)M（

2

3

，

8

3

），|MN|最大值為

16

3

，
∴|MN|范圍是[4，

16

3

]（10分）
同理，當(dāng)M、N都在上支拋物線(xiàn)上時(shí)，|MN|范圍也是[4，

16

3

]
∴由上綜述：|MN|范圍是[4，

16

3

]（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡與軌跡方程，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度中等．