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求證：對任意自然數n，總有
1
2
+
3
4
+
5
8
+…+
2n-1
2n
＜3．
考點：數列與不等式的綜合,數列的求和
專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用
分析：直接利用錯位相減法求出數列的和，則數列不等式可證．
解答： 證明：令Sn=
1
2
+
3
4
+
5
8
+…+
2n-1
2n
，
則
1
2
Sn=
1
4
+
3
8
+…+
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
，
作差得：
1
2
Sn=
1
2
+
1
2
+
1
4
+…+
1
2n-1
-
2n-1
2n

=
1
2
+
1
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
-
2n-1
2n
=
3
2
-
1
2n-1
-
2n-1
2n
，
∴Sn=3-
1
2n-2
-
2n-1
2n-1
＜3．
點評：本題是數列與不等式的綜合題，考查了錯位相減法求數列的前n項和，考查了放縮法證明數列不等式，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設集合M={0，1，2}，N={x|x2-5x+6≤0}，則M∩N=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F分別是邊CD，CB的中點，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到五棱錐P-ABFED，且PB=
10
．
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知動點P到定點F（1，0）的距離比到直線x+2=0的距離小1．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）若曲線E上存在A、B兩點關于直線l：2x+4y-9=0對稱，且線段AB的延長線與直線x+1=0相交于點C，求：
（i）直線AB的方程；
（ii）△FAB與△FCB的面積之比．

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科目：高中數學 來源： 題型：

∫
 
 
（cosx-
2
1+x2
+
1
4
1-x2
）dx=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求證：
n3+5n+6
6
的值總為整數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

曲線y=x-cosx在點（
π
2
，
π
2
）處的切線方程為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

計算下列定積分：
（1）
∫
1
-1
x2dx                            （2）
∫
1
-1
xcosxdx．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=|x2-2x-3|，x∈R．
（1）在區(qū)間[-2，4]上畫出函數f（x）的圖象；
（2）寫出該函數在R上的單調區(qū)間．

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