Question

（2011•江蘇二模）已知函數(shù)f（x）=

x+a

+a|x|，a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=1，x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)m、n是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足m＜n，若函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（m，n），且n-m≤

31

16

，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=f（x），a=1時(shí)，f(x)=

x+1

+|x|，將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類(lèi)討論當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f(x)=

x+1

+x為增函數(shù)；當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f(x)=

x+1

-x，分別求出它們函數(shù)值的取值范圍，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）令t=

x+a

，則y=g（t）=t+a|t²-a|，分類(lèi)討論：①a=0時(shí)，f(x)=

x

無(wú)單調(diào)減區(qū)間；②a＜0時(shí)，x在(

1

4a2

-a，+∞)上f（x）是減函數(shù)；③a＞0時(shí)，y=g(t)=

-at2+t+a2，0≤t≤ a at2+t-a2，t＞ a

，當(dāng)且僅當(dāng)

1

2a

＜

a

時(shí)，即a＞2-

2

3

時(shí)，在t∈(

1

2a

，

a

)上，g（t）是減函數(shù)，即x∈(

1

4a2

-a，0)時(shí)，f（x）是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（m，n），且n-m≤

31

16

，可求a的取值范圍．

解答：解：設(shè)y=f（x）
（1）a=1時(shí)，f(x)=

x+1

+|x|
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f(x)=

x+1

+x為增函數(shù)，y的取值范圍為（1，1+

2

]
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f(x)=

x+1

-x
令t=

x+1

，0≤t≤1，∴x=t²-1
∴y=-(t-

1

2

)2+

5

4

，0≤t≤1，
∴y的取值范圍為[1，

5

4

]
∵

5

4

＜1+

2

∴當(dāng)a=1，x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，1+

2

]
（2）令t=

x+a

，
∴x=t²-a，t≥0，y=g（t）=t+a|t²-a|
①a=0時(shí)，f(x)=

x

無(wú)單調(diào)減區(qū)間
②a＜0時(shí)，y=g（t）=at²+t-a²，t在(-

1

2a

，+∞)上g（t）是減函數(shù)，
∴x在(

1

4a2

-a，+∞)上f（x）是減函數(shù)
∴a＜0不成立
③a＞0時(shí)，y=g(t)=

-at2+t+a2，0≤t≤ a at2+t-a2，t＞ a

當(dāng)且僅當(dāng)

1

2a

＜

a

時(shí)，即a＞2-

2

3

時(shí)，在t∈(

1

2a

，

a

)上，g（t）是減函數(shù)，即x∈(

1

4a2

-a，0)時(shí)，f（x）是減函數(shù)
∴n-m=a-

1

4a2

≤

31

16

∴（a-2）（16a²+a+2）≤0
∴a≤2
∴a的取值范圍為(2-

2

3

，2]

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有一定的難度．