Question

已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一正方形.（12分）

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點，若線段的垂直平分線經(jīng)過點，求

（為原點）面積的最大值.

 

Answer 1

（1）；(2) 面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一正方形,可知，又在橢圓上，可得的值；（2）可得直線直線有斜率，當(dāng)直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸，，當(dāng)直線的斜率不為時，則設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，方程有兩個不同的解又，

由弦長公式求出，又原點到直線的距離為，那么，可得時，取得最大值.

試題解析：（1）∵橢圓的兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成正方形，

∴， ∴， 2分

又∵橢圓經(jīng)過點，代入可得，

∴故所求橢圓方程為 4分

(2)設(shè)因為的垂直平分線通過點， 顯然直線有斜率，

當(dāng)直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸，此時

所以，因為，所以

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值為， 6分

當(dāng)直線的斜率不為時，則設(shè)的方程為

所以，代入得到

當(dāng), 即

方程有兩個不同的解又，

所以，又，化簡得到 -----8分

代入，得到

又原點到直線的距離為

所以

考慮到且化簡得到 10分

因為，所以當(dāng)時，即時，取得最大值.

綜上，面積的最大值為 12分

考點：橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，韋達定理.