如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.

 

【答案】

（1）證明略

（2）

【解析】

解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，

Ｅ是ＣＤ的中點(diǎn)，所以

所以

而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）過點(diǎn)Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是為直線ＰＢ與平面PAE

所成的角，且.

由知，為直線與平面所成的角.

由題意，知

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912473540579963/SYS201207091248032651318566_DA.files/image018.png">所以

由所以四邊形是平行四邊形，故于是

在中，所以

于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為

解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：

（Ⅰ）易知因?yàn)?/p>

所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以

(Ⅱ)由題設(shè)和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與

所成的角和PB與所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為.

【點(diǎn)評】本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明即可，第二問算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積，或者建立空間直角坐標(biāo)系，求得高幾體積.

 

練習(xí)冊系列答案
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（1）根據(jù)圖2所給的主視圖、側(cè)視圖畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖所在的平面圖形的面積．
（2）圖3中，L、E均為棱PB上的點(diǎn)，且
BE
EP
=1，
BL
LP
=5，M、N分別為棱PA、PD的中點(diǎn)，問在底面正方形的對角線AC上是否存在一點(diǎn)F，使EF∥平面LMN．若存在，請具體求出CF的長度；若不存在，請說明理由．
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（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積．

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PB=PC=
5
．
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如圖5 ，在四棱錐P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中點(diǎn)。
（1）證明：CD⊥平面PAE ；
（2）若直線PB 與平面PAE 所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

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