Question

7．計算${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$+x²）dx的結果是π+$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 法一：令x=2sint，dx=2costdt，x=2時，t=$\frac{π}{2}$，x=0時，t=0，則${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$+x²）dx=$2{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2co{s}^{2}tdt$+（$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{2}$，由此能求出結果．
法二：由${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$是圓x²+y²=4的面積的$\frac{1}{4}$，得${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$+x²）dx=${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx+{∫}_{0}^{2}{x}^{2}dx$=$\frac{1}{4}×π×4+（\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{2}$，由此能求出結果．

解答 解法一：令x=2sint，dx=2costdt，x=2時，t=$\frac{π}{2}$，x=0時，t=0，
則${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$+x²）dx
=${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx+{∫}_{0}^{2}{x}^{2}dx$
=$2{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}2co{s}^{2}tdt$+（$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{2}$
=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}（1-cos2t）dt$+$\frac{8}{3}$
=（2t-sin2t）${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$+$\frac{8}{3}$
=π+$\frac{8}{3}$．
解法二：∵${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$是圓x²+y²=4的面積的$\frac{1}{4}$，
∴${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x}^{2}}$+x²）dx=${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx+{∫}_{0}^{2}{x}^{2}dx$
=$\frac{1}{4}×π×4+（\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{2}$
=$π+\frac{8}{3}$．
故答案為：$π+\frac{8}{3}$．

點評 本題考查定積分的求不地，是中檔題，解題時要認真審題，注意換元法的合理運用．