Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，且橢圓的離心率為，過作軸的垂線與橢圓交于兩點，且，動點在橢圓上．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）記橢圓的左、右頂點分別為，且直線的斜率分別與直線（為坐標原點）的斜率相同，動點不與重合，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)離心率以及通徑的長度，建立的方程組，求解方程組即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)點在橢圓上，可推導出為定值；分類討論直線的斜率，當斜率存在時，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，由，得到之間的關(guān)系；再求弦長以及原點到直線的距離，結(jié)合之間的關(guān)系，即可容易得到結(jié)果.

（1）聯(lián)立方程得解得，

故，即，

又，，

所以，

故橢圓C的標準方程為.

（2）由（1）知，，設(shè)，

則，

又，即，

所以，所以.

當直線的斜率不存在時，

直線的斜率分別為或，

不妨設(shè)直線的方程是，

由得，．

取，則，

所以的面積為.

當直線的斜率存在時，設(shè)方程為．

由得．

因為在橢圓上，所以，

解得．

設(shè)，，則，.

所以

．

設(shè)點到直線的距離為，則．

所以的面積為①

因為，

所以

由，得， ②

由①②，得．

綜上所述，的面積為．