Question

【題目】已知數(shù)列、、，對(duì)于給定的正整數(shù)，記，.若對(duì)任意的正整數(shù)滿足：，且是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“”數(shù)列.

（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：為數(shù)列；

（2）若數(shù)列為數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若數(shù)列為數(shù)列，證明：是等差數(shù)列 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）； （3）見解析.

【解析】

（1）采用可進(jìn)行求解，要驗(yàn)證是否成立

（2）（3）通過題干，將，進(jìn)行聯(lián)立求解，代換掉，，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，符合上式， 則，

，則

對(duì)任意的正整數(shù)滿足，且是公差為4的等差數(shù)列，

為數(shù)列.

（2），

由數(shù)列為數(shù)列，則是等差數(shù)列，且

即，

則是常數(shù)列，，

驗(yàn)證：，對(duì)任意正整數(shù)都成立 ．

又由，，

兩式相減，得：，

，

（3）由數(shù)列為數(shù)列可知：是等差數(shù)列，記公差為

，

則

又，，

數(shù)列為常數(shù)列，則

由，

是等差數(shù)列.