Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個(gè)側(cè)面均為正方形，D為底邊AB的中點(diǎn)，E為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求直線A₁B與平面B₁BCC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)AB₁和A₁B的交點(diǎn)為O，連接EO，連接OD．證明EO∥CD．說(shuō)明CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，即可證明CD∥平面A₁BE．
（II）過(guò)A₁作A₁G⊥B₁C₁于G，由平面A₁B₁C₁⊥平面BCC₁B₁結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得A₁G⊥平面B₁BCC₁，連BG，則∠A₁BG為直線A₁B與平面B₁BCC₁所成的線面角，解直角三角形A₁BG，可得直線A₁B與平面B₁BCC₁所成角的正弦值．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)A₁B的交點(diǎn)為O，連接EO，連接OD．
因?yàn)镺為A₁B的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥BB₁且OD=

1

2

BB1．
又E是CC₁中點(diǎn)，則EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，即EC∥OD且EC=OD，
則四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，則CD∥平面A₁BE．…（6分）
（Ⅱ） 過(guò)A₁作A₁G⊥B₁C₁于G，因?yàn)槠矫鍭₁B₁C₁⊥平面BCC₁B₁，則A₁G⊥平面B₁BCC₁，連BG，則∠A₁BG為直線A₁B與平面B₁BCC₁所成的線面角，…（9分）
在直角三角形A₁BG中，設(shè)B₁B=a，A1G=

3

2

a，A1B=

2

a，
所以sin∠A1BG=

A1G

A1B

=

3 2 a

2 a

=

6

4

，…（12分）
所以直線A₁B與平面B₁BCC₁所成角的正弦值為

6

4

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行，直線與平面所成的角，（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線面平行的判定定理，（II）的關(guān)鍵是構(gòu)造出∠A₁BG為直線A₁B與平面B₁BCC₁所成的線面角