Question

5．已知a_n為（1+x）ⁿ⁺²的展開(kāi)式中含xⁿ項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{（n+1）（n+2）}{2}$
• B． $\frac{n（n+1）}{2}$
• C． $\frac{n}{n+1}$
• D． $\frac{n}{n+2}$

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)等于n，求出a_n；利用裂項(xiàng)求和求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵T_r+1=C_n+2^rx^r，
∴a_n=C_n+2ⁿ=C_n+2²=$\frac{（n+2）（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+2）（n+1）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{n}{n+2}$，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；本題考查利用裂項(xiàng)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．