Question

【題目】己知函數(shù).

（1）若，解不等式；

（2）如果對(duì)于，恒有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）分類討論，求解對(duì)應(yīng)情況下的不等式，再取每種情況下不等式解集的并集即可；

（2）根據(jù)不等式恒成立，對(duì)自變量的取值進(jìn)行進(jìn)行分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的恒成立問題，從而求解出參數(shù)的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，

不等式等價(jià)于，解得，

與取交集可得不等式的解集為；

②當(dāng)時(shí)，

不等式等價(jià)于，顯然不成立，

故不等式的解集為；

③當(dāng)時(shí)，

不等式等價(jià)于，解得，

與取交集可得不等式的解集為.

綜上所述，不等式的解集為.

（2）等價(jià)于恒成立，

①當(dāng)時(shí)，

不等式等價(jià)于

因?yàn)?/span>，對(duì)任意的恒成立，

顯然；

②當(dāng)時(shí)，

不等式等價(jià)于

因?yàn)?/span>，

故也等價(jià)于或在區(qū)間上恒成立，

對(duì)，即，在區(qū)間上恒成立，

也即，解得；

對(duì)，即，在區(qū)間上恒成立，

解得；

則當(dāng)時(shí)，要滿足題意，

③當(dāng)時(shí)，

不等式等價(jià)于，

因?yàn)?/span>，

故也等價(jià)于或在區(qū)間上恒成立，

對(duì)，即，在區(qū)間上恒成立，

也即，因?yàn)?/span>在區(qū)間沒有最大值，故；

對(duì)，即，在區(qū)間上恒成立，

也即，解得.

則當(dāng)時(shí)，要滿足題意，.

④當(dāng)時(shí)，

原不等式等價(jià)于顯然成立，

故此時(shí).

⑤當(dāng)時(shí)，

原不等式等價(jià)于，

因?yàn)?/span>，

故也等價(jià)于或在區(qū)間上恒成立，

對(duì)，即，在區(qū)間上恒成立，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上沒有最小值，故；

對(duì)，即，在區(qū)間上恒成立，

即，解得.

則當(dāng)時(shí)，要滿足題意，只需.

⑥當(dāng)時(shí)，

原不等式等價(jià)于，

顯然.

⑦當(dāng)時(shí)，

原不等式等價(jià)于，

因?yàn)?/span>，

則顯然.

綜上所述，要滿足題意，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

故要滿足對(duì)任意的，都有，對(duì)以上各種情況下的范圍取交集即可，

則.