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15.已知函數(shù)f(x)=tan(ωx+\frac{π}{4})(ω>0)的最小正周期為\frac{π}{2}
(Ⅰ)求ω的值及函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若f(\frac{α}{2})=3,求tan2α的值.

分析 (Ⅰ)由條件根據(jù)f(x)=tan(ωx+\frac{π}{4})(ω>0)的最小正周期為\frac{π}{2},求得ω的值,可得函數(shù)的解析式,從而求出它的定義域.
(Ⅱ)由條件求得tanα=\frac{1}{2},再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.

解答 解:(Ⅰ)因為函數(shù)f(x)=tan(ωx+\frac{π}{4})(ω>0)的最小正周期為\frac{π}{2},所以,\frac{π}{ω}=\frac{π}{2},解得ω=2.
令 2x+\frac{π}{4}≠kπ+\frac{π}{2},k∈Z,x≠\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{8}
所以f(x)的定義域為{x|x≠\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{8},k∈Z}.
(Ⅱ)因為f(\frac{α}{2})=3,即 tan(α+\frac{π}{4})=3=\frac{tanα+1}{1-tanα},∴tanα=\frac{1}{2},∴tan2α=\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}=\frac{4}{3}

點評 本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),二倍角的正切公式,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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