Question

（本小題滿分13分）如圖，直三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點.

(１)求二面角B—A₁D—A的平面角余弦值；

(2)在線段AC上是否存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD？

若存在，確定其位置并證明結論；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  F為AC中點

解析:

法一：（1）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G

于M，連結BM∵BC⊥平面ACC??₁A₁  

∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB為二面角B—A₁D—A的平面角

       平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

   ,  余弦值為  …6分

（2）在線段AC上存在一點F，使得EF⊥平面A₁BD其位置為AC中點，證明如下：

∵A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱 ， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F ，F(xiàn)為AC中點 ∴C₁F⊥A₁D   ∴EF⊥A₁D同理可證EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A₁BD

∵E為定點，平面A₁BD為定平面,點F唯一  …13分

解法二：（1）∵A₁B₁C₁—ABC為直三棱住   C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點, 建立如圖所示的坐標系得C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A??₁（0，2，2）D（0，0，1）  E（1，0，2） 

   設平面A₁BD的法向量為n=(1,)

 

平面ACC₁A₁??的法向量為=（1，0，0）   

（2）在線段AC上存在一點F，設F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，當且僅當//  

∴存在唯一一點F（0，1，0）滿足條件. 即點F為AC中點