Question

10．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四邊形ABEF是正方形，且平面ABEF⊥平面ABCD，M為AF的中點，
（I）求證：AC⊥BM；
（2）求異面直線CE與BM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）線線垂直轉化為線面垂直，要證明AC⊥BM；只需證明BE⊥平面ABCD，即可．
（II）取BC的中點記為Q，BE的中點記為N，連接MN，QN，DQ，易得$CE∥QN，AB\underline{\underline∥}MN$．在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC可得$DQ\underline{\underline∥}AB$，所以四邊形DMNQ為平行四邊形，可得DM∥QN．故DM∥CE，∠DMB即為異面直線CE與BM所成的角（或其補角），利用余弦定理求解即可．

解答 解：（I）證明：∵四邊形ABEF為正方形，∴BE⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BE?平面ABEF．
∴BE⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．
設AD=1，則$AC=AB=\sqrt{2}$，
∴AC⊥AB且AB∩BE=B，
∴AC⊥平面ABEF，又BM?平面ABEF．∴AC⊥BM．
（II）取BC的中點記為Q，BE的中點記為N，連接MN，QN，DQ，
易得$CE∥QN，AB\underline{\underline∥}MN$．
在直角梯形ABCD中，由BC=2AD=2DC，
可得$DQ\underline{\underline∥}AB$，
∴四邊形DMNQ為平行四邊形，
可得DM∥QN．
故DM∥CE，
那么∠DMB即為異面直線CE與BM所成的角（或其補角）
設BC=2a，則AD=DC=a，
可得$DM=\frac{{\sqrt{6}}}{2}a，BD=\sqrt{5}a，BM=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$．$|{cos∠DMB}|=|{\frac{{（{\frac{{\sqrt{10}}}{2}a}）^2+{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}a}）}^2}-{{（{\sqrt{5a}}）}^2}}}{{2×\frac{{\sqrt{10}}}{2}a×\frac{{\sqrt{6}}}{2}a}}}|=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．
得異面直線CE與BM所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

點評 本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．