Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB＝CD，側(cè)棱PB⊥底面ABCD，PC＝5，BC＝3，ΔPAB的面積等于6，若平面DPA與平面CPB所成的二面角為α，求α．

Answer 1

答案：
解析：

解：延長DA交CB的延長線于E，連PE，則PE就是平面DPA和平面CPB的交線． 　　∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD． 　　∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE． 　　作CF⊥PE于F，連DF由三垂線定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α． 　　∵AB＝CD，PC＝5，BC＝3，∴PB＝4． 　　SΔPAB＝6，∴AB＝3，CD＝6，＝＝． 　　∴EB＝3，PE＝5． 　　∵PB·EC＝CF·PE，∴CF＝． 　　在直角ΔDCF中，tanα＝＝＝． 　　α＝antan． 　　評析：這是一道較難的題，難就難在怎么確定兩相交平面的交線．由公理二交線的唯一性必須找出另一個公共點，因此本題延長DA、CB相交于E，確定這個E點就成了關(guān)鍵．

提示：

平面DPA與平面CPB有一公共點P，要畫出它們構(gòu)成的二面角的平面角必須確定它們公共交線，DA和CB的延長線的交點E是它們的另一公共點．由公理二，PE就是二面角的公共棱．有了公共棱，二面角的平面角就生了根．