Question

如下圖，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若△AMN為銳角三角形，AM=，AN=3，且BN=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程.

Answer 1

解：以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，依題意知：曲線C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點(diǎn).

設(shè)曲線C的方程為y²=2px(p＞0)(x_a≤x≤x_b，y＞0)，其中x_a、x_b分別是A、B的橫坐標(biāo)，p=MN，所以M（-,0）,N(,0).

由AM=,AN=3得方程組

解之得或

因?yàn)椤鰽MN是銳角三角形，所以＞x_a.故舍去

p所以p=4,x_a=1.

由點(diǎn)B在曲線C 上得x_b=BN-=4.

綜上得曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4,y＞0).