Question

正數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：rS_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0，常數(shù)r∈N．
（1）求證：a_n+2-a_n是一個定值；
（2）若數(shù)列{a_n}是一個周期數(shù)列，求該數(shù)列的周期；
（3）若數(shù)列{a_n}是一個有理數(shù)等差數(shù)列，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由rS_n=a_na_n+1-1，利用迭代法得：ra_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），由此能夠證明a_n+2-a_n為定值．
（2）當n=1時，ra=aa₂-1，故，根據(jù)數(shù)列是隔項成等差，寫出數(shù)列的前幾項，再由r＞0和r=0兩種情況進行討論，能夠求出該數(shù)列的周期．
（3）因為數(shù)列{a_n}是一個有理等差數(shù)列，所以，化簡2a²-ar-2=0，是有理數(shù)，由此入手進行合理猜想，能夠求出S_n．
解答：證明：（1）∵rS_n=a_na_n+1-1，①
∴rS_n+1=a_n+1a_n+2-1，②
②-①，得：ra_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+2-a_n=r．…（4分）
（2）當n=1時，ra=aa₂-1，
∴，
根據(jù)數(shù)列是隔項成等差，寫出數(shù)列的前幾項：a，，a+r，，a+2r，，…
當r＞0時，奇數(shù)項和偶數(shù)項都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列，
所以r=0時，數(shù)列寫出數(shù)列的前幾項：a，，a，，a，，a，，，…
所以當a＞0且a≠1時，該數(shù)列的周期是2，
當a=1時，該數(shù)列的周期是1．
（3）因為數(shù)列{a_n}是一個有理等差數(shù)列，
所以
化簡2a²-ar-2=0，是有理數(shù)．
設，是一個完全平方數(shù)，
設為r²+16=k²，r，k均是非負整數(shù)r=0時，a=1，a_n=1，S_n=n．
r≠0時（k-r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8組，
其中只有，符合要求，
此時，
或者，
等差數(shù)列的前幾項：a，，，，…，，
因為數(shù)列{a_n}是一個有理等差數(shù)列是一個自然數(shù)，a=1，r=0，a_n=1，S_n=n，
此時，．
點評：本題考查數(shù)列知識的綜合應用，是對數(shù)列知識的綜合考查，屬于數(shù)列中的難題．一般數(shù)列出大題，要么是非常容易，在第一第二大題；要么就是很難的題目．