Question

若曲線y=

1

xlnx

與直線y=a恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性：f（x）在（0，

1

e

）的單調(diào)遞增，在（1，

1

e

），（1，+∞）的單調(diào)遞減，畫(huà)出圖象判斷即可．

解答： 解：∵y=

1

xlnx

，定義域?yàn)椋海?，1）∪（1，+∞）
∴y′=-

1+lnx

(xlnx)2

，
①當(dāng)-

1+lnx

(xlnx)2

＞0時(shí)，即0＜x＜

1

e

，
②當(dāng)-

1+lnx

(xlnx)2

＜0時(shí)，即

1

e

＜x＜1，x＞1，
③當(dāng)-

1+lnx

(xlnx)2

=0時(shí)，即x=

1

e

，
∴f（x）在（0，

1

e

）的單調(diào)遞增，在（1，

1

e

），（1，+∞）的單調(diào)遞減，
f（

1

e

）=-e，
∵曲線y=

1

xlnx

與直線y=a恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴a=-e或a＞0，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，極值，畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，難度不大．