Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為{s_n}，若對(duì)任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，求實(shí)數(shù)λ取值范圍；
（3）設(shè)，數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N^*，且n≥2，都有T_3n-T_n＞成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=a_2n，知，由a₁=1，知，由此能導(dǎo)出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由，知，S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-，若對(duì)于任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，由此能求出λ的取值范圍．
（3）由，知，令，則，所以f（n）是增函數(shù)，由此能導(dǎo)出整數(shù)m的最大值為18．
解答：解：（1）b_n=a_2n，
，
a₁=1，
∴，
∴{b_n}是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，
故（5分）
（2），
S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-，
若對(duì)于任意n∈N^*，
不等式λ≥1+S_n恒成立，
則λ≥2，
故λ的取值范圍是[2，+∞）．（9分）
（3），
T_3n-T_n=，
令f（n）=，
則
，
f（n+1）＞f（n），
∴f（n）是增函數(shù)
當(dāng)n≥2時(shí)，
，，
故m＜19，
整數(shù)m的最大值為18．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．