如下圖直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).

(1)求的長(zhǎng);

（2）求cos〈,〉的值;

（3）求證:A1B⊥C1M.

解析：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.

（1）依題意得B（0，1，0），N（1，0，1）,

∴||=

（2）依題意得A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴=（1，-1，2），=（0，1，2），·=1×0+(-1)×1+2×2=3,

|BA1|=,

||=,

∴cos〈,〉=.

(3)依題意得C1(0,0,2),M(,,2),

=（，，0），=（-1，1，-2），

∴·=（-1）×+1×+(-2)×0=0.

∴⊥.

∴⊥.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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（09年山東蒼山期末文）（12分）

如下圖所示：在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。

（1）求證：AC⊥BC1；

（2）求證：AC1∥平面CDB1；

（3）求異面直線(xiàn)AC1與B1C所成角的余弦值。

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如下圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面為直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動(dòng)點(diǎn),則CP+PA1的最小值為_(kāi)________.

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直三棱柱ABC－A1B1C1的直觀(guān)圖及三視圖如下圖所示，D為AC的中點(diǎn)，則下列命題是假命題的是(   )

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B．A1C⊥平面BDC1

C．直三棱柱的體積V＝4

D．直三棱柱的外接球的表面積為4π

 

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如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：AC⊥BC1；

(2)求證：AC1∥平面CDB1；

(3)求異面直線(xiàn)AC1與B1C所成角的余弦值．

 

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