Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD中，

（1）點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．求證：A′D⊥EF
（2）當BE=BF= BC時，求三棱錐A′﹣EFD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，

∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，

∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F平面A'EF．

∴A'D⊥平面A'EF．

又∵EF平面A'EF，

∴A'D⊥EF．

（2）解：由四邊形ABCD為邊長為2的正方形

故折疊后A′D=2，A′E=A′F= ，EF=

則cos∠EA′F= =

則sin∠EA′F=

故△EA′F的面積S△EA′F= A′EA′Fsin∠EA′F=

由（1）中A′D⊥平面A′EF

可得三棱錐A'﹣EFD的體積V= × ×2=

【解析】（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．結合EF平面A'EF，得A'D⊥EF；（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF為斜邊的直角三角形，而A'D是三棱錐D﹣A'EF的高線，可以算出三棱錐D﹣A'EF的體積，即為三棱錐A'﹣DEF的體積．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．