Question

（2010•莆田模擬）如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點是F（-

3

，0），離心率e=

3

2

，過點A（0，-2）且不與y軸重合的直線l與橢圓C相交于不同的兩點P、Q
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點F到直線l的距離為2，求直線l的方程；
（3）問在y軸上是否存在一個定點B，使得直線PB與橢圓C的另一個交點R是點Q關(guān)于y軸的對稱點？若存在，求出定點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由c=

3

，

c

a

=

3

2

，能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-2，由

y=kx-2 x2+4y2=4

，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，由△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得k＜-

3

2

或k＞

3

2

．設(shè)p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，由已知得

|- 3 k-2|

1+k2

=2，由此能求出直線l的方程．
（3）假設(shè)y軸上存在定點B，使R與點Q關(guān)于y軸對稱，則R（-x₂，y₂），所以直線PR的方程為y-y1=

y1-y2

x1+x2

(x-x1)，令x=0，得y=-

1

2

，所以存在y軸上定點B(0，-

1

2

)，使得直線PB與橢圓C的另一個交點R是點Q關(guān)于y軸的對稱點．

解答：解：（1）∵c=

3

，

c

a

=

3

2

，
∴a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2 =1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-2，
由

y=kx-2 x2+4y2=4

，
得（1+4k²）x²-16kx+12=0，①
∵△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得k＜-

3

2

或k＞

3

2

．②
設(shè)p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，
由已知得，

|- 3 k-2|

1+k2

=2，解得k=0，或k=4

3

，
由②得，k=4

3

，
∴直線l的方程是y=4

3

x-2．
（3）假設(shè)y軸上存在定點B，使R與點Q關(guān)于y軸對稱，則R（-x₂，y₂），
∴直線PR的方程為y-y1=

y1-y2

x1+x2

(x-x1)，
令x=0，則y=

(y1-y2)•(-x1)

x1+x2

+y₁
=

x1y2+x2y1

x1+x2

=

x1(kx2-2)+x1(kx1-2)

x1+x2

=

2kx1x2-2(x1+x2)

x1+x2

=

2kx1x2

x1+x2

-2
=

2k• 12 1+4k2

16k 1+4k2

-2
=-

1

2

．
∴存在y軸上定點B(0，-

1

2

)，
使得直線PB與橢圓C的另一個交點R是點Q關(guān)于y軸的對稱點．

點評：本題主要考查直線與直線、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力、推理論證能力以及公析與解決問題能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想．