Question

已知△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓x²+3y²=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長及△ABC的面積；
（Ⅱ）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時(shí)，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）注意到直線AB和l平行，則斜率相等，得到直線AB的方程．再由以AB為底，計(jì)算三角形面積．
（2）由弦長公式算出AB，點(diǎn)到直線的距離算出BC，再根據(jù)勾股定理，得到AC的表達(dá)式，從而求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锳B∥l，且AB邊通過點(diǎn)（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x．
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由

x2+3y2=4 y=x

得x=±1．
所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

．
又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離．
所以h=

2

，S_△ABC=

1

2

|AB|•h=2．

（Ⅱ）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．
因?yàn)锳，B在橢圓上，
所以△=-12m²+64＞0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

3m

2

，x₁x₂=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．
又因?yàn)锽C的長等于點(diǎn)（0，m）到直線l的距離，即|BC|=

|2-m|

2

．
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以當(dāng)m=-1時(shí)，AC邊最長，（這時(shí)△=-12+64＞0）
此時(shí)AB所在直線的方程為y=x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題是屬于對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查．注意到解析幾何的綜合題在高考中的“綜合的程度”往往比較高，且計(jì)算量常常較大，因此平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)要注意其深難度，同時(shí)注意加強(qiáng)計(jì)算能力的培養(yǎng)．