已知:函數(shù)有唯一的根.
(1)求a,b的值;
(2)數(shù)列{an}對(duì)n≥2,n∈N總有an=f(an-1),a1=1;求證為等差數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式.
(3)是否存在這樣的數(shù)列{bn}滿足:{bn}為{an}的子數(shù)列(即{bn}中的每一項(xiàng)都是{an}的項(xiàng))且{bn}為無(wú)窮等比數(shù)列,它的各項(xiàng)和為.若存在,找出一個(gè)符合條件的數(shù)列{bn},寫出它的通項(xiàng)公式;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)f(2)的值建立關(guān)于a和b的等量關(guān)系,
解法一:根據(jù)f(x)=x 有唯一根,可得ax2+(b-1)x=0有唯一根,利用判別式進(jìn)行求解,求出a和b的值;
解法二:根據(jù)f(x)=x 有唯一根,可得x(-1)=0,解得一根為0,從而-1=0的根也是x=0,可求出a和b的值;
(2)將取倒數(shù),化簡(jiǎn)可得{}為等差數(shù)列,從而求出{an}的通項(xiàng)公式.
(3)設(shè){bn} 的首項(xiàng)為,公比為q,然后求出這個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和可得到m和q的等量關(guān)系,然后任意求出一組符合題意數(shù)列即可.
解答:解:(1) (1分)
解法一:f(x)=x 有唯一根,所以即ax2+(b-1)x=0有唯一根,(1分)
∴△=(b-1)2=0,(1分)
b=1 a=1 (1分)
有 b=1 a=1 得:方程的根為:x=0(1分)
經(jīng)檢驗(yàn)x=0是原方程的根(1分)
解法二:=x
x(-1)=0(1分)
x1=0,因?yàn)榉匠逃形ㄒ坏母?分)
即:-1=0的根也是x=0,(1分)
得b=1 a=1 (1分)
經(jīng)檢驗(yàn)x=0是原方程的根(1分)
(2) (2分)
∴{ }為等差數(shù)列(1分)
(2分)
所以 (1分)
(3)設(shè){bn} 的首項(xiàng)為,公比為q (
所以這個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為:
,;
當(dāng)m=3 時(shí),;
當(dāng), (6分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等差數(shù)列的判定和數(shù)列的求和,同時(shí)考查了方程的根的有關(guān)問(wèn)題,屬于中檔題.
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  1. A.
    函數(shù)f(x)在(1,2)或[2,3)內(nèi)有零點(diǎn)
  2. B.
    函數(shù)f(x)在(3,5)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)
  3. C.
    函數(shù)f(x)在(2,5)內(nèi)有零點(diǎn)
  4. D.
    函數(shù)f(x)在(2,4)內(nèi)不一定有零點(diǎn)

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(3)是否存在這樣的數(shù)列{bn}滿足:{bn}為{an}的子數(shù)列(即{bn}中的每一項(xiàng)都是{an}的項(xiàng))且{bn}為無(wú)窮等比數(shù)列,它的各項(xiàng)和為.若存在,找出所有符合條件的數(shù)列{bn},寫出它的通項(xiàng)公式,并說(shuō)明理由;若不存在,也需說(shuō)明理由.

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