Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=2x-x²．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）當時，求f（x）的最大值與最小值．并求出相應x的值．

Answer 1

解：（1）y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)?f（-x）=-f（x）?f（0）=0．
當x＜0時，-x＞0時，
所以：f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²=-f（x）
即x≤0時f（x）=2x+x²
∴
（2）∵當x＞0時，f（x）=2x-x²．對稱軸為1，開口向下．
所以函數(shù)在[0，1]上遞增，在[1，3]上遞減；
當x=1時有最大值1，當x=3時有最小值-3．
又因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，
所以當x∈[-，0）時，在[-，-1]上遞減，在[-1，0]上遞增；
當x=0時有最大值0，當x=-1時有最小值-1．
綜上得：當時，在x=1時有最大值1，當x=3時有最小值-3．
分析：（1）直接根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），求出x＜0時對應的解析式以及f（0）=0即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）先根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出x＞0時的最大值與最小值；再結(jié)合奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱求出x＜0時的最大值與最小值；綜合即可得到答案．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用．偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．