Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱A₁A和B₁B上各有一個動點P，Q，且滿足A₁P=BQ，M是棱CA上的動點，則

VM-ABQP

VABC-A1B1C1-VM-ABQP

的最大值是

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：由已知中A₁P=BQ，我們可得四邊形PQBA與四邊形PQB₁A₁的面積相等，等于側面ABPQB₁A₁的面積的一半，M是棱CA上的動點，可得M是C時，

VM-ABQP

VABC-A1B1C1-VM-ABQP

最大．根據等底同高的棱錐體積相等，可將四棱椎C-PQBA的體積轉化三棱錐C-ABA₁的體積，進而根據同底同高的棱錐體積為棱柱的

1

3

，求出四棱椎C-PQBA的體積，進而得到答案．

解答： 解：設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V
∵側棱AA₁和BB₁上各有一動點P，Q滿足A₁P=BQ，
∴四邊形PQBA與四邊形PQB₁A₁的面積相等，
∵M是棱CA上的動點，
∴M是C時，

VM-ABQP

VABC-A1B1C1-VM-ABQP

最大
又四棱椎M-PQBA的體積等于三棱錐C-ABA₁的體積等于

1

3

V，
∴

VM-ABQP

VABC-A1B1C1-VM-ABQP

的最大值是

1 3 V

V- 1 3 V

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查的知識點是棱柱的體積，棱錐的體積，其中根據四邊形PQBA與四邊形PQB₁A₁的面積相等，等于側面ABPQB₁A₁的面積的一半，將四棱椎C-PQBA的體積轉化三棱錐C-ABA₁的體積是解答本題的關鍵．