Question

（2012•廣東模擬）已知數(shù)列{a_n} 中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）寫出a₂、a₃的值（只寫結果）并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，求b_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N），分別令n=1，n=2，能夠得到a₂，a₃．再由迭代法求出，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，由此利用累加法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）借助裂項求和法能夠推導出bn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

=

1

(2n+ 1 n )+3

．構造函數(shù)f（x）=2x+

1

x

（x≥1），得到f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，由此能夠求出b_n的最大值．

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N），
∴a₂=6，a₃=12．…（2分）
當n≥2時，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1+a_n-2）+（a_n-a_n-1）
=2[1+2+3+…（n-1）+n]
=2×

n(n+1)

2

=n（n+1）．…（5分）
當n=1時，a₁=1×（1+1）=2也滿足上式，…（6分）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+1）．…（7分）
（2）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+…+

1

2n(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(n+2)

+

1

(n+2)

-

1

(n+3)

+…+

1

2n

-

1

2n+1

=

1

(n+1)

-

1

(2n+1)

=

n

2n2+3n+1

=

1

(2n+ 1 n )+3

．…（10分）
令f（x）=2x+

1

x

（x≥1），
則f′(x)=2-

1

x2

，當x≥1時，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，故當x=1時，f（x）_min=f（1）=3．…（13分）
即當n=1時，（b_n）_max=

1

6

．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的項的最大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法和構造法的合理運用．