Question

15．如圖所示，PA與四邊形ABCD所在平面垂直，且PA=BC=CD=BD，AB=AD，PD⊥DC．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若PA=$\sqrt{3}$，E為PC的中點，求三棱錐EABD的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知得△PBC≌△PDC，則∠PBC=∠PDC，再由PD⊥DC，得PB⊥BC，由線面垂直的性質(zhì)可得PA⊥BC，再由線面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，從而得到AB⊥BC；
（2）由已知結(jié)合（1）得∠ABD=30°，解三角形求得AB=1，求出三角形ABD的面積，再求出三棱錐EABD的高h(yuǎn)=$\frac{1}{2}PA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （1）證明：由PA⊥平面ABCD，AB=AD，可得PB=PD，
又BC=CD，∴△PBC≌△PDC，得∠PBC=∠PDC，
∵PD⊥DC，∴PB⊥BC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又PA∩PB=P，∴BC⊥平面PAB，
∵AB?平面PAB，∴AB⊥BC；
（2）解：由BC=CD=BD，AB⊥BC，可得∠ABD=30°，
由AB=AD，BD=PA=$\sqrt{3}$，可得AB=1，
∴△ABD的面積S=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵E為PC的中點，∴三棱錐EABD的高h(yuǎn)=$\frac{1}{2}PA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故三棱錐EABD的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{8}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．