已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)+
1-x1+x
,x≥0
,其中a>0.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)的最小值為1,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2
,由于分母恒正,故由分子的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的討論,分別可求得f(x)的最小值,根據(jù)f(x)的最小值為1,可確定a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2
,
∵x≥0,a>0,∴ax+1>0.
①當(dāng)a≥2時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞).
②當(dāng)0<a<2時(shí),由f'(x)>0解得x>
2-a
a
,由f'(x)<0解得x<
2-a
a

∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,
2-a
a
)
,單調(diào)增區(qū)間為(
2-a
a
,+∞)

(Ⅱ)當(dāng)a≥2,由(Ⅰ)①知,f(x)的最小值為f(0)=1;
當(dāng)0<a<2時(shí),由(Ⅰ)②知,f(x)在x=
2-a
a
處取得最小值f(
2-a
a
)
<f(0)=1,
綜上可知,若f(x)的最小值為1,則a的取值范圍是[2,+∞).
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,合理分類是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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