Question

若二項(xiàng)式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：
（Ⅰ）展開式中含x的項(xiàng)；
（Ⅱ）展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

1

2r

x

2n-3r

4

，由已知可前三項(xiàng)成等差熟練可求n的值
，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式為Tr+1=

C

r 8

1

2r

x

16-3r

4

（I）令16-3r=4可得r，代入可求
（II）要求展開式中所有的有理項(xiàng)，只需要讓

16-3r

4

為整數(shù)可求r的值，當(dāng)r=0，4，8時(shí)，進(jìn)而可求得有理項(xiàng)

解答：解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

1

2r

x

2n-3r

4

前三項(xiàng)的r=0，1，2
得系數(shù)為t1=1，t2=

C

1 n

•

1

2

=

1

2

n，t3=

C

2 n

•

1

4

=

1

8

n(n-1)
由已知：2t2=t1+t3，n=1+

1

8

n(n-1)
得n=8
通項(xiàng)公式為Tr+1=

C

r 8

1

2r

x

16-3r

4

（I）令16-3r=4，得r=4，得T5=

35

8

x
（II）當(dāng)r=0，4，8時(shí)，依次得有理項(xiàng)T1=x4，T5=

C

4 8

1

24

x=

35

8

x，T9=

C

8 8

1

28

x-2=

1

256

x2

點(diǎn)評：本題主要考查了二項(xiàng)展開時(shí)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式可求展開式的指定項(xiàng)