分析 如圖所示,過(guò)點(diǎn)E,做EF⊥AB,垂足為F,設(shè)BD=x,∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ,先求出tanθ=23,再求出tan2θ,根據(jù)兩直線平行可得\frac{xcos2θ}{2-x}=\frac{xsin2θ}{3},求出x的在值,再根據(jù)勾股定理求出答案.
解答 解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)E,做EF⊥AB,垂足為F,
設(shè)BD=x,∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ,
∵AB=2,AC=3,∠BAC=90°,
∴tanθ=\frac{2}{3},
∵∠DBE=∠DEB=θ
∴∠EDF=∠DBE+∠DEB=2θ,
∴tan2θ=\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}=\frac{2×\frac{2}{3}}{1-\frac{4}{9}}=\frac{12}{5},
在Rt△EFD中,EF=xsin2θ,DF=xcos2θ
∵EF∥AC,
∴\frac{DF}{AD}=\frac{EF}{AC},
∴\frac{xcos2θ}{2-x}=\frac{xsin2θ}{3},
解得x=\frac{3}{4},
∴AD=2-x=\frac{5}{4},
∴CD=\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{9+\frac{25}{16}}=\frac{13}{4},
故答案為:\frac{13}{4}.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)和兩角和的正切公式以及相似的問(wèn)題,屬于中檔題.
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