分析 如圖所示,過(guò)點(diǎn)E,做EF⊥AB,垂足為F,設(shè)BD=x,∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ,先求出tanθ=23,再求出tan2θ,根據(jù)兩直線平行可得xcos2θ2−x=xsin2θ3,求出x的在值,再根據(jù)勾股定理求出答案.
解答 解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)E,做EF⊥AB,垂足為F,
設(shè)BD=x,∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ,
∵AB=2,AC=3,∠BAC=90°,
∴tanθ=23,
∵∠DBE=∠DEB=θ
∴∠EDF=∠DBE+∠DEB=2θ,
∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×231−49=125,
在Rt△EFD中,EF=xsin2θ,DF=xcos2θ
∵EF∥AC,
∴DFAD=EFAC,
∴xcos2θ2−x=xsin2θ3,
解得x=34,
∴AD=2-x=54,
∴CD=√AC2+AD2=√9+2516=134,
故答案為:134.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)和兩角和的正切公式以及相似的問(wèn)題,屬于中檔題.
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