Question

1．在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=90°，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CD上，且∠ACB=∠DBE=∠DEB，則DC=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)E，做EF⊥AB，垂足為F，設(shè)BD=x，∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ，先求出tanθ=$\frac{2}{3}$，再求出tan2θ，根據(jù)兩直線平行可得$\frac{xcos2θ}{2-x}$=$\frac{xsin2θ}{3}$，求出x的在值，再根據(jù)勾股定理求出答案．

解答 解：如圖所示，過點(diǎn)E，做EF⊥AB，垂足為F，
設(shè)BD=x，∠ACB=∠DBE=∠DEB=θ，
∵AB=2，AC=3，∠BAC=90°，
∴tanθ=$\frac{2}{3}$，
∵∠DBE=∠DEB=θ
∴∠EDF=∠DBE+∠DEB=2θ，
∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2×\frac{2}{3}}{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△EFD中，EF=xsin2θ，DF=xcos2θ
∵EF∥AC，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{EF}{AC}$，
∴$\frac{xcos2θ}{2-x}$=$\frac{xsin2θ}{3}$，
解得x=$\frac{3}{4}$，
∴AD=2-x=$\frac{5}{4}$，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{25}{16}}$=$\frac{13}{4}$，
故答案為：$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的有關(guān)知識(shí)和兩角和的正切公式以及相似的問題，屬于中檔題．