Question

已知四棱錐的底面是平行四邊形，,，面，且.若為中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；
（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值.

Answer 1

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析(2)

解析試題分析：
(1)本文利用面面垂直來(lái)證明線面垂直,即連接BD交AC于點(diǎn)O，取中點(diǎn)，連接、、.利用分別為的中位線,說(shuō)明它們對(duì)應(yīng)平行,進(jìn)而得到面與面平行,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到線面平行.
(2)要求線面角,需要找到線面角的代表角,即過(guò)C點(diǎn)做面PAD的垂線,因?yàn)镻A垂直于底面,所以過(guò)C作線段AD的垂線與AD交于H,則CH垂直于面PAD,所以角CPH即為線面角的代表角,要求該角的正弦值,就需要求出PC與CH,可以利用三角形PAC和三角形ACH為直角三角形通過(guò)勾股定理求的.進(jìn)而得到線面角的正弦值.
試題解析：
（1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，
取中點(diǎn)，連接、、.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c2/9/0uqvx4.png" style="vertical-align:middle;" />、分別是、的中點(diǎn)，
所以，    3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/08/e/glpzt2.png" style="vertical-align:middle;" />、分別是、的中點(diǎn)，
所以，     6分
所以，平面平面.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ec/0/1kdrg3.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
故，平面.    9分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/83/7/lh3kf2.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以.
過(guò)C作AD的垂線，垂足為H，則，，所以平面PAD.
故為PC與平面PAD所成的角.                12分
設(shè)，則，，，
所以，即為所求.                   15分
考點(diǎn)：面面平行 線面平行 線面夾角 勾股定理