如圖,P是拋物線C:x2=2y上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,直線l過點P且與拋物線交于另一點Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).
(1)若l經(jīng)過點F,求弦長|PQ|的最小值;
(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0)與x軸交于點S,與y軸交于點T
①求證:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍.
(1)∵F為拋物線的焦點,∴F(0,
1
2
)

設(shè)直線l:y=kx+
1
2
,
聯(lián)立
y=kx+
1
2
x2=2y
,得x2-2kx-1=0(﹡)
則|PQ|=|PF|+|QF|=(y1+
1
2
)+(y2+
1
2
)=y1+y2+1=k(x1+x2)+2

由(﹡)得x1+x2=2k,帶入上式得|PQ|=2k2+2≥2,當僅當k=0時|PQ|的最小值為2;
(2)證明:如圖,
①分別過P,Q作PP′⊥x軸,QQ′⊥x軸,垂足分別為P′,Q′,
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=
|OT|
|P/P|
+
|OT|
|Q/Q|
=
|b|
|y1|
+
|b|
|y
2
|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②聯(lián)立
y=kx+b
y=
1
2
x2
,消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0(﹟)
y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2
(方法1)
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)≥2|b|
1
y1
y2
=2|b|
1
b2
=2

而y1,y2可取一切不相等的正數(shù)∴
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍為(2,+∞).
(方法2)
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)=|b|
y1+y2
y1y2
=|b|
2(k2+b)
b2

當b>0時,上式=
2k2
b
+2>2
;
當b<0時,上式=
2(k2+b)
-b

由(﹟)式△>0得k2+2b>0即k2>-2b
于是
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
2(-2b+b)
-b
=2

綜上,
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍為(2,+∞).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知F1、F2是雙曲線的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是  (   )
A.B.C.D.

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21
3
的雙曲線過點P(6,6).
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己知斜率為1的直線l與雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
相交于B、D兩點,且BD的中點為M(1,3).
(Ⅰ)求C的離心率;
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2
,BC=1,以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系.
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(2)過點p(0,2)的直線m與(1)中橢圓只有一個公共點,求直線m的方程:
(3)過點p(0,2)的直線l交(1)中橢圓與M,N兩點,是否存在直線l,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-
x2
2
與過點M(0,-1)的直線l相交于A、B兩點,O為原點.若OA和OB的斜率之和為1.
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(2)求△AOB的面積.

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3
x
且過點M(1,
2
).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A,B兩點,O為坐標原點,若OA與OB垂直,求a的值.

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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
左、右頂點分別為A、B,橢圓C的右焦點為F,
過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S,若線段RS的長為
10
3

(1)求橢圓C的方程;
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同步練習(xí)冊答案