Question

9．已知正實數(shù)x，y，z滿足0≤log₂x-log${\;}_{\sqrt{2}}$y+log₂z≤1，且x+y≤2z，則$\frac{x-y}{z}$的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$]．

Answer 1

分析 通過對數(shù)運算法則化簡已知條件，利用換元法結(jié)合線性規(guī)劃求解所求表達式的范圍即可．

解答 解：正實數(shù)x，y，z滿足0≤log₂x-log${\;}_{\sqrt{2}}$y+log₂z≤1，且x+y≤2z，
可得：1≤$\frac{xz}{{y}^{2}}$≤2，$\frac{x}{z}+\frac{y}{z}≤2$，x，y，z＞0．
令$\frac{x}{z}=a$，$\frac{y}{z}=b$，
不等式轉(zhuǎn)化為：1≤$\frac{a}{^{2}}$≤2，0＜a+b≤2，
則$\frac{x-y}{z}$=a-b．
畫出$\frac{1}{2}a≤^{2}≤a$，0＜a+b≤2表示的可行域如圖：

當t=a-b與b²=a相切時$\frac{x-y}{z}$取得最小值：
$\left\{\begin{array}{l}{^{2}=a}\\{t=a-b}\end{array}\right.$，可得b²-b-t=0，△=1+4t=0，解得t=-$\frac{1}{4}$．即：$\frac{x-y}{z}$≥$-\frac{1}{4}$
當t=a-b結(jié)果可行域的A時，取得最大值：此時$\left\{\begin{array}{l}{2^{2}=a}\\{a+b=2}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$），
可得$\frac{x-y}{z}$≤$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$．
$\frac{x-y}{z}$的取值范圍為：[-$\frac{1}{4}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{1}{4}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$]．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，換元法的應用，考查數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想的應用．