Question

【題目】已知二次函數f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）
（1）若f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點，求b2+c2+2的取值范圍；
（2）在b≥0的條件下，若f（x）的定義域[﹣1，0]，值域也是[﹣1，0]，符合上述要求的函數f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表達式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點，故△=0，

即△=b2﹣4c=0b2=4c，

則b2+c2+2=c2+4c+2=（c+2）2﹣4≥﹣4；

（2）解：設符合條件的f（x）存在，

∵函數圖象的對稱軸是x=﹣ ，

又b≥0，∴﹣ ≤0．

①當﹣ ＜﹣ ≤0，即0≤b＜1時，

函數x=﹣ 有最小值﹣1，則 或 （舍去）．

②當﹣1＜﹣ ≤﹣ ，即1≤b＜2時，則 （舍去）或 （舍去）．

③當﹣ ≤﹣1，即b≥2時，函數在[﹣1，0]上單調遞增，則 ，解得 ，

綜上所述，符合條件的函數有兩個，

f（x）=x2﹣1或f（x）=x2+2x

【解析】（1）根據二次函數的性質得到判別式△=0，求出b2=4c，代入b2+c2+2，求出其范圍即可；（2）二次函數f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）的對稱軸是x=﹣ ，定義域為[﹣1，0]，按照對稱軸在定義域[﹣1，0]內、在[﹣1，0]的左邊和在[﹣1，0]的右邊三種情況分別求函數的值域，令其和題目條件中給出的值域相等，求b和c．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．