Question

10．半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
（1）求半圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C有且只有2個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，注意y的取值范圍．直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程．
（2）如圖所示，直線l經(jīng)過點(diǎn)（-2，2）時(shí)，即a=6時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，$\frac{|-4+a|}{\sqrt{5}}$=2，解得a，結(jié)合圖形即可得出．

解答 解：（1）半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），
即ρ²=4ρsinθ，化為x²+y²=4y，平方為x²+（y-2）²=4（2≤y≤4）．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：x-2y+a=0．
（2）如圖所示，直線l經(jīng)過點(diǎn)（-2，2）時(shí)，即-2-2×2+a=0，
解得a=6時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，$\frac{|-4+a|}{\sqrt{5}}$=2，解得a=4$±2\sqrt{5}$，取a=4+2$\sqrt{5}$．
∴當(dāng)$6≤a＜4+2\sqrt{5}$時(shí)，直線l與曲線C有且只有2個(gè)公共點(diǎn)．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[6，4+2\sqrt{5}）$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交相切問題、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．