Question

稱(chēng)數(shù)列{a_n+1-a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差數(shù)列．若數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₄=24．且{a_n+1-a_n}的一階差數(shù)列為常數(shù)列2，2，2，…．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)，求證：對(duì)一切n∈N₊，．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定數(shù)列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列，即可求得結(jié)論；
（2）數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：由于數(shù)列{a_n+1-a_n}的一階差數(shù)列為常數(shù)列2，2，2，…，知數(shù)列{a_n+1-a_n}是公差為2的等差數(shù)列．
由（a₄-a₃）-（a₃-a₂）=2，（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2得a₂=8，a₃=15．（4分）
（2）解：數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，
n≥2時(shí)，
∴，（8分）
而a₁=3也恰適合以上通項(xiàng)公式，故（9分）
（3）證明：對(duì)一切n∈N₊，
==（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．