Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，其前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，滿足a_n-2ⁿ=S_n-1，又b_n=，
（I）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（II）求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（I）由題意知得，a₁=2，a₂-2²=S₁=a₁=2，∴a₂=6．
n≥2時(shí)，a_n-2ⁿ=S_n-1，a_n+1-2ⁿ⁺¹=S_n，
兩式相減得 a_n+1-a_n-2ⁿ=a_n
即 a_n+1=2a_n+2ⁿ （n≥2）
于是
即 b_n+1-b_n= n≥2
又b₁==1，=，b₂-b₁=，
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為0.5的等差數(shù)列．
（II）由（I）知，，
a_n=b_n2ⁿ=（n+1）2^n-1，
又n≥2時(shí)a_n-2ⁿ=S_n-1，S_n-1=（n-1）2^n-1，
∴S_n=n•2ⁿ
∴T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹…②
②-①可得
T_n=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
分析：（I）求出數(shù)列的前兩項(xiàng)，通過a_n-2ⁿ=S_n-1，求出a_n+1，a_n的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列{b_n}相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（II）通過（I），求出數(shù)列{b_n}，{a_n}的通項(xiàng)公式，確定數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{S_n}前n項(xiàng)和T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查遞推關(guān)系式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，常考題型．