Question

已知函數f（x）=x³+x．
（1）指出f（x）在定義域R上的奇偶性與單調性（只要求寫出結論，無須證明）；
（2）已知實數a，b，c滿足a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，試判斷f（a）+f（b）+f（c）與0的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=x³+x的定義域為R，關于原點對稱
又∵f（-x）=（-x）³+（-x）=-（x³+x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數，
又∵y=x³在R上單調遞增，y=x在R上單調遞增
∴f（x）=x³+x在定義域R上也為增函數．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，故f（a）＞f（-b）=-f（b），于是f（a）+f（b）＞0．
同理，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．
故f（a）+f（b）+f（b）+f（c）+f（c）+f（a）＞0，即有f（a）+f（b）+f（c）＞0．
分析：（1）根據已知中f（x）=x³+x．求出f（-x），并判斷f（-x）與f（x）的關系，然后根據函數奇偶性的性質得到函數的奇偶性，分析函數的兩個組成部分對應函數的單調性，進而根據“增函數+增函數=增函數”的原則得到答案．
（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）中函數的增函數，故f（a）＞f（-b），又由（1）中函數為奇函數可得：f（-b）=-f（b），即f（a）＞-f（b），于是f（a）+f（b）＞0，同時求出f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0．利用不等式的性質即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合，其中熟練掌握函數單調性與奇偶性的定義及性質是解答本題的關鍵．