Question

4．已知數列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，求通項公式和a₇．

Answer 1

分析 2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n≥2時，變形為：2ⁿ⁺¹a_n-2ⁿa_n-1=1，利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，n≥2時，變形為：2ⁿ⁺¹a_n-2ⁿa_n-1=1，
∴數列{2ⁿ⁺¹a_n}是等差數列，首項為2，公差為1．
∴2ⁿ⁺¹a_n=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$．
∴a₇=$\frac{8}{{2}^{8}}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{32}$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．