【題目】已知函數(shù)

1)設,求函數(shù)的單調增區(qū)間;

2)設,求證:存在唯一的,使得函數(shù)的圖象在點處的切線l與函數(shù)的圖象也相切;

3)求證:對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.

【答案】1的單調增區(qū)間為(0,];(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1)求出導函數(shù),在函數(shù)定義域內由確定其增區(qū)間;

2)先求出處的切線方程,設這條切線與的圖象切于點,由,得出關于的方程,然后證明此方程的解在上存在且唯一.

3)把問題轉化為上有解,令,則只要即可.

1hx)=gx)﹣x2lnxx2x∈(0,+∞).

,

解得

∴函數(shù)hx)的單調增區(qū)間為(0,]

2)證明:設x01,可得切線斜率

切線方程為:

假設此切線與曲線yfx)=ex相切于點Bx1,),fx)=ex

k=,

化為:x0lnx0lnx0x010,x01

下面證明此方程在(1+∞)上存在唯一解.

ux0)=x0lnx0lnx0x01,x01

,在x0∈(1,+∞)上單調遞增.

u1)=-1,,

上有唯一實數(shù)解,

,遞減,

時,,遞增,

,∴上無解,

,∴上有唯一解.

∴方程在(1,+∞)上存在唯一解.

即:存在唯一的x0,使得函數(shù)ygx)的圖象在點Ax0,gx0))處的切線l與函數(shù)yfx)的圖象也相切.

3)證明:,

vx)=exx1x0

vx)=ex10,

∴函數(shù)vx)在x∈(0+∞)上單調遞增,

vx)>v0)=0

∴不等式,a0exx1ax0,

Hx)=exx1ax0,

由對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立Hxmin0

Hx)=exx1ax,ax∈(0,+∞).

Hx)=ex1a,令ex1a0

解得x0,

函數(shù)Hx)在區(qū)間(0,)上單調遞減,在區(qū)間(,+∞)上單調遞增.

H0)=0,∴

∴存在對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.

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