【題目】已知函數(shù).
(1)設,求函數(shù)
的單調增區(qū)間;
(2)設,求證:存在唯一的
,使得函數(shù)
的圖象在點
處的切線l與函數(shù)
的圖象也相切;
(3)求證:對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.
【答案】(1)的單調增區(qū)間為(0,
];(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)求出導函數(shù),在函數(shù)定義域內由
確定其增區(qū)間;
(2)先求出在
處的切線方程,設這條切線與
的圖象切于點
,由
,得出關于
的方程,然后證明此方程的解在
上存在且唯一.
(3)把問題轉化為在
上有解,令
,則只要
即可.
(1)h(x)=g(x)﹣x2=lnx﹣x2,x∈(0,+∞).
令,
解得.
∴函數(shù)h(x)的單調增區(qū)間為(0,].
(2)證明:設x0>1,,可得切線斜率
,
切線方程為:.
假設此切線與曲線y=f(x)=ex相切于點B(x1,),f′(x)=ex.
則k=,
∴.
化為:x0lnx0﹣lnx0﹣x0-1=0,x0>1.
下面證明此方程在(1,+∞)上存在唯一解.
令u(x0)=x0lnx0﹣lnx0﹣x0-1,x0>1.
,在x0∈(1,+∞)上單調遞增.
又u′(1)=-1,,
∴在
上有唯一實數(shù)解
,
,
,
遞減,
時,
,
遞增,
而,∴
在
上無解,
而,∴
在
上有唯一解.
∴方程在(1,+∞)上存在唯一解.
即:存在唯一的x0,使得函數(shù)y=g(x)的圖象在點A(x0,g(x0))處的切線l與函數(shù)y=f(x)的圖象也相切.
(3)證明:,
令v(x)=ex﹣x﹣1,x>0.
∴v′(x)=ex﹣1>0,
∴函數(shù)v(x)在x∈(0,+∞)上單調遞增,
∴v(x)>v(0)=0.
∴,
∴不等式,a>0ex﹣x﹣1﹣ax<0,
即H(x)=ex﹣x﹣1﹣ax<0,
由對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立H(x)min<0.
H(x)=ex﹣x﹣1﹣ax,a,x∈(0,+∞).
H′(x)=ex﹣1﹣a,令ex﹣1﹣a=0,
解得x=>0,
函數(shù)H(x)在區(qū)間(0,)上單調遞減,在區(qū)間(
,+∞)上單調遞增.
∵H(0)=0,∴.
∴存在對任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)求函數(shù)的零點個數(shù);
(3)當時,求證不等式
解集為空集.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且滿足f(3-x)=f(x),f(-1)=3,數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n(an+1-an)(n∈N*),則f(a36)+f(a37)=( 。
A. B.
C. 2D. 3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種植基地將編號分別為1,2,3,4,5,6的六個不同品種的馬鈴薯種在如圖所示的
A | B | C | D | E | F |
這六塊實驗田上進行對比試驗,要求這六塊實驗田分別種植不同品種的馬鈴薯,若種植時要求編號1,3,5的三個品種的馬鈴薯中至少有兩個相鄰,且2號品種的馬鈴薯不能種植在A、F這兩塊實驗田上,則不同的種植方法有 ( )
A. 360種 B. 432種 C. 456種 D. 480種
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于正三角形,挖去以三邊中點為頂點的小正三角形,得到一個新的圖形,這樣的過程稱為一次“鏤空操作“,設
是一個邊長為1的正三角形,第一次“鏤空操作”后得到圖1,對剩下的3個小正三角形各進行一次“鏤空操作”后得到圖2,對剩下的小三角形重復進行上述操作,設
是第
次挖去的小三角形面積之和(如
是第1次挖去的中間小三角形面積,
是第2次挖去的三個小三角形面積之和),
是前
次挖去的所有三角形的面積之和,則
( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
的焦點為
,直線
與
交于
,
兩點,且與
軸交于點
.
(1)若直線的斜率
,且
,求
的值;
(2)若,
軸上是否存在點
,總有
?若存在,求出點
坐標;若不存在,請說明理由.
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