Question

如下圖所示，O為△ABC的外心，H為其垂心．求證＝＋＋．并由此推斷，已知O是△ABC的外心(或內(nèi)心，或垂心)，如果滿足＋＋＝0，那么該三角形是什么形狀？

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵O為△ABC的外心，如圖，作△ABC的外接圓的直徑BD，連結(jié)AD，CD，則 　　＝－，且有DA⊥AB，DC⊥BC， 　　又H為△ABC的垂心，連結(jié)AH，CH，則 　　AH⊥BC，CH⊥AB． 　　得四邊形AHCD為平行四邊形，則＝． 　　又＝－＝＋， 　　∴＝＋＝＋＝＋＋． 　　若已知O是△ABC的外心，設(shè)△ABC的垂心為H． 　　由已證結(jié)論知＋＋＝，又依題設(shè)知＋＋＝0， 　　∴＝0，即△ABC的外心與垂心重合． 　　∴△ABC為等邊三角形． 　　當(dāng)O為內(nèi)心或垂心時，同理可證△ABC為等邊三角形．

提示：

本題的關(guān)鍵是利用外心和垂心的概念，將通過轉(zhuǎn)化為＋．其中輔助線的作用不可忽視．